笔记：数学

（2）无理数（无限不循环小数）

（3）运算

①证明a²必为无理数：a²+9a+14为有理数、14为有理数，因此a²+9a为有理数，由于9a为无理数，因此a²只能为无理数。
②证明（a+3）²必为无理数：a²+6a+9转换为a²+9a+14-3a-5，a²+9a+14为有理数、-5为有理数、3a为无理数，因此前式为无理数。
③证明（a+5）（a-5）必为有理数：a²-25，a²为无理数、25为有理数，因此前式结果为无理数。

（x-√2y）²=x²+2y²-2√2xy=6-4√2，得x²+2y²=6、2√2xy=4√2，将x=2/y带入得4/y²+2y²=6，即y⁴-3y²+2=0，即（y²-1）（y²-2）=0，解得y²=±1或2，由于y为有理数所以只能为±1，则x²=4，x²+3y²=7

7<x<9，x是整数只能为8，y=2√3+5-8，2x+5y=16+10√3-15=10√3+1

2.整数

（1）整除特性：

（2）f÷g=f除以g、f被g除、g除f，g去除f

①上式转换得（4m-n）（2m+3n）=49k，假设m，n=1不成立，①不充分
②4m-n=7k，n=4m-7k，2m+3n=2m+12m-21k=7（2m-3k），上式合并后为49（2mk-3k²），由于m、n可能非整数，②不充分
①+②充分

72=8x9，末3位能被8整除则y为2，四位数能被9乘除则x为3

设x³+x²+ax+b=(x²-3x+2)(mx+n)=mx³+(n-3m)x²+(2m-3n)x+2n，得m=1、(n-3m)=1、(2m-3n)=a、2n=b,得n=4、a=-10、b=8

3.奇偶数

（1）偶数：2k（k∈Z）

（2）奇数：2k+1（k∈Z）

（3）和差：同偶异奇

（4）积商：有偶则偶

只能为3、5、7

①x-2014≤0，0≤x≤2014，无法判断x/2，不充分
②x-2014≥0，2014≤x，无法判断x/2，不充分
①+②得x=2014，x/2=1007为奇数，不充分

①a/ |a| + b/ |b|=0
②a/ |a| - b/ |b|=0
①a/ |a| + b/ |b|=0得a、b异号，即ab<0，则b/a<0，ab+b/a<0，充分
②a/ |a| - b/ |b|=0得a、b同号，即ab>0，则b/a>0，ab+b/a>0，不充分

4.质合数

（1）质数（素数）：n≥2，且n只能被1和自身整除，如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29

(2)合数：4、6、8、9、10

(3)若n<2，则非质数也非合数

(4)质因数分解

5.公约数与公倍数

(1)a是正整数m和n的最大公约数，记为（m，n）

(2)b是正整数m和n的最小公倍数，记为 [m，n]

(3)a x b= （m，n）x [m，n]

(4)含余数

6.整系数不定方程

(1)二元一次方程：ax+by=c（均为整数）

(2)二元二次方程：因式分解（均为整数）

(二)比与比例

若a+b+c=0，则a+b=-c，带入得k=-1
若a+b+c≠0，则三式相加（a+b+b+c+c+a）/a+b+c，得k=2

t-√t-6=1，（√t-3）（√t+2）=1，解得√t=4，t=16，则a/2=c/4=（a+b+c）/9=t/9=16/9，解得a-c=-32/9

x:y:z=15:12:10，15k+12k+10k=37k=74，y=12k=12*74/37=24

三比例转化为380:240，380:247，390:247，247-240=390-380+3，刚好1份对应1人，则最后总人数=390+347=637人

①若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，(a+b)(b+c)(a+c)/abc=-1；若a+b+c≠0，由①可得4a：3b：2c，即a:b:c=3:4:6，则（3k+4k）（4k+6k）（3k+6k）/3kx4kx6k=35/4，①不充分
②a:b:c=3:4:6，②同样充分

(三)绝对值

2.等价性：|a|²=a²（或|a|=√a²）

3.非负性：|a|≥0（还有根号和平方非负）

4.基本不等式：

5.三角不等式：

6.可乘性：|ab|=|a|*|b|

7.可除性：当b≠0时，|a/b|=|a|/|b|

|x-a|大于0，|×-20|与|x-a-20|小于0，则拆绝对值后y=x-a-x+20-x+a+20=40-x，由x≤20得x最大20时，y=40-20最小值为20

若x小于-1，则-x-1+3-x=6，x=-2，
若-1≤x≤3，x+1+3-x=6无解
若x大于3，则x+1-3+x=6，x=4

(1)|a|≤5,|b|≤5,|c|≤5
(2)a+b+c=15.
①由条件1：a,b,c∈［-5,5］，不妨设a≤b≤c，则c-a≤10，显然b-a与c-b不可能同时大于5（否则由b-a>5和c-b>5可得c-a>10，与c-a≤10矛盾），故b-a与c-b必有一个小于等于5，条件（1）充分。
②举反例，令a=0,b=-15,c=30，满足a+b+c=15，但距离最小值为15，不符合结论，条件（2）不充分

|(x+y)²+y²+1|+2y+|x+1|=(x+y)²+y²+2y+1+|x+1|=(x+y)²+(y+1)²+|x+1|=x+1,当x≥-1且(x+y)²、(y+1)²等于0时上式成立，解得y=-1、x=-y，故xy=-1

|a³-b³|=|(a-b)(a²+ab+b²)|=26,得|a²+ab+b²|=13,(a-b)²=a²-2ab+b²=4,设a²+b²=4+2ab,带入前式得|4+3ab|=13，4+3ab=±13，ab=3或-17/3（排除），则a²+b²=4+6=10

8.绝对值自比式

9.绝对值函数

|a|表示数轴是那个点a到原点的距离，|a-b|表示数轴上a、b两点的距离

二、代数

(一)代数式与函数

(1)代数式：用运算符号把数、字母连接而成的式子叫做代数式。单独的数、字母也是代数式。
(2)单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
(3)多项式：单项式相加减称作多项式。
(4)整式：单项式与多项式统称为整式。
(5)同类项：两个单项式所含字母以及字母的幂次相同，则称这两个单项式为同类项。
(6)多项式相等：两个多项式对应系数均相等。

2.一元多项式

(1)定义：形如aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+……+a₁x+a₀的多项式称为x的一元n次多项式，其中aₙ，aₙ₋₁……a₁x，a₀为实数，aₙ≠0，n为自然数。

f(x)=g(x)h(x)，即x²-kx-6=(x-3)h(x)，令x=3则9-3k-6=0，解得k=1

3.多元多项式

定义：两个及以上字母的多项式称为多元多项式，各单项式中最高幂次称为该多元多项式的次数

例如：x²y²+xy-5为二元四次多项式

4.整式运算

(1)余式定理
若g(x)去除f(x)可得f(x)=g(x)h(x)+r(x)，若存在x₀使得g(x₀)=0，则f(x₀)=r(x₀)

(2)因式定理
若g(x)能够整除f(x)，则f(x)=g(x)h(x)，若存在x₀使得g(x₀)=0，则f(x₀)=0

(3)因式分解

①提取公因式法：提取多项式中的公因式，写成因式乘积的形式

②运用公式法：运用公式将多项式写成因式乘积的形式

例如：$2x^{2}-7xy+6y^{2}-3x+4y-2$ 先将$2x^{2}-7xy+6y^{2}$分解为(2x-3y)(x-2y),再将前式视为整体与常数项交叉得（2x-3y+1）（x-2y-2）。

(x³-1)-9x-9=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x²+x-8)

x²+4xy+4y²+y²-2y+1+1=(x+2y)²+(y-1)²+1，当(x+2y)和(y-1)都为0时f(x，y)为最小值，最小值为1

(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=2(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=3(a²+b²+c²)-(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac)=3(a²+b²+c²)-(a+b+c)²，当a+b+c=0时，前式最大为27

(x+y+z)/2=(a-c)²+(a-b)²+(b-c)²，a，b，c不全相等，所以(a-c(²+(a-b)²+(b-c)²大于零，x+y+z至少有一个大于零

(1)x+y=1
(2)x+y=-1

①：(x+y)³=x³+y³+3x²y+3xy²=x³+y³+3xy(x+y)，若(x+y)=1则能推出x³+y³+3xy=1，①充分
②不充分

(1)三条边满足a³+c³+ab²-a²b+b²c-bc²-2abc=0
(2)三条边满足a³-a²b+ab²+ac²-b³-bc²=0

①(a³+c³)+(ab²+b²c)-(a²b+bc²+2abc)=(a+c)(a²-ab+b²)+b²(a+c)-b(a²+c²+2ac)=(a+c)(a²-ab+b²)+b²(a+c)-b(a+c)²=(a+c)(a²+b²+c²-ac-bc-ab)=0，由于a+c≠0则(a²+b²+c²-ac-bc-ab)=0，由于2(a²+b²+c²-ac-bc-ab)=(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²，则a=b=c，①充分
②(a³-b³)-(a²b-ab²)+ac²-bc²=(a-b)(a²+ab+b²)-ab(a-b)+c²(a-b)=(a-b)(a²+ab+b²-ab+c²)=(a-b)(a²+b²+c²)=0，由于(a²+b²+c²)≠0，则(a-b)=0，即a=b，等腰非等边，②不充分

双十字相乘得(x-y+2)(x+y-3)或(x+y-2)(x-y+3)，得m=1或-1

（二）分式

由x²-3x+1=0可得x+1/x=3，x²+1/x²=3²-2=7，x³+1/x³=(x+1/x)(x²+1/x²)-(1+1/x)=3x7-3=18，x⁴+1/x⁴=(1+1/x²)²-2=49-2=47，x⁷+1/x⁷=(x³+1/x³)(x⁴+1/x⁴)-(x+1/x)=18x47-3=843

（三）集合

（四）函数

2.函数的单调性：

3.函数的奇偶性：

4.一元一次函数

y=kx+b（k≠0），k表示斜率，k的正负决定函数单调性，k>0时函数单调递增，k<0函数单调递减；b表示y轴上的截距，b>0时直线与y轴相交于正半轴，b<0时直线与y轴相交于负半轴，b=0是直线过原点。

5.一元二次函数

形如y=ax²+bx+c（a≠0）的二次函数称为一元二次函数。
a的正负性决定函数图像的开口方向，当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
a，b共同决定函数的对称轴，c决定函数与y轴相交的位置。

6.指数函数

7.对数函数

函数y=logₐN（a>0，且a≠1）叫对数函数，a为底数，N为真数（自变量），N>0
$$\begin {align} 若aᵇ=N，则log_{a}^{N}=b\end {align} ，b为以a为底时N的对数，b为因变量，对数运算时指数运算的逆运算$$ $$\begin {align} log_{a}^{1}=0，log_{a}^{a}=1，log_{10}^{N}=lgN，log_{e}^{N}=lnN，无理数e≈2.72\end {align}$$ $$\begin {align} log_{a}^{xy}=log_{a}^{x}+log_{a}^{y}，log_{a}^{x/y}=log_{a}^{x}-log_{a}^{y}\end {align}$$ 换底：
$$\begin {align} 当a>0时，a≠1，b>0，b≠1，且N>0时，log_{b}^{N}=\frac {log_{a}^{N}} {log_{a}^{b}} \end {align} ，证明如下：$$ $$\begin {align} 设y=log_{b}^{N}，那么b^{y}=N，所以log_{a}^{N}=log_{b}^{b^{y}}=ylog_{a}^{b}=log_{a}^{b}*log_{b}^{N} \end {align}$$ $$\begin {align} 于是y=log_{b}^{N}=\frac {log_{a}^{N}} {log_{a}^{b}} \end {align}$$ $$\begin {align} 另外，还有一些显而易见的公式：\end {align}$$ $$\begin {align} log_{a}^{b}* log_{b}^{a}=1\end {align}$$ $$\begin {align} log_{a^{n}}^{b^{m}}=\frac {m} {n}log_{a}^{b}\end {align}$$ 对数函数：y=logₐx（a>0，且a≠1）

8.函数定义域

x²-6x+10开口向上，最小值取(4ac-b²)/4a=4/4=1，所以函数y的真数≥1，当真数为1时函数y=0，因函数的底数小于1大于0，函数y在(-∞，0)单调递减

根号内值≥0，即(1-lnx)≥0，即lnx≤1，e>1所以函数单调递增，当logₑᵉ=1，所以定义域为(0，e]

根号内值≥0，即log₂(2x-4)≥0，当log₂2时=0且底数>1，函数y单调递增，故(2x-4)≥1，解得x≥5/2，所以定义域为[5/2，+∞)

ₑ>1所以函数f(x)单调递增，同增异减因此需取f(u)=x²-2x-8的递增部分，b/-2a=1，开口向上则x>1。同时，(x²-2x-8)作为真数需>0，解(x-4)(x+2)>0得x>4或x<-2，与x>1取相交部分得单调递增区间为(4，+∞)

前函数是偶函数则b=0，f(x)=ax³+cx，f(-x)=-(ax³+cx)=-f(x)，奇函数

三、方程与不等式

(一)一次方程求解方法

当a=0，b≠0时，方程无解
当a=b=0时，方程有无数解
当a≠0时，方程有唯一解x= -b/a

2.二元一次：

二元一次方程组：a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂
当a₁：a₂=b₁：b₂≠c₁：c₂时，方程组无解
当a₁：a₂=b₁：b₂=c₁：c₂时，方程组有无数解
当a₁：a₂≠b₁：b₂时，方程组有唯一解

(二)一元二次方程求解方法

2.公式法

3.十字相乘法

4.根的判定：

5.韦达定理

6.根的分布

①a，b，c是等边三角形的三条边 ②a，b，c是等腰三角形的三条边 由方程得Δ=b²-4ac=[2b-4(a+c)]²-4x3x(4ac-b²)=0，化简得a²+b²+c²-ab-ac-bc=1/2[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]=0，即a=b=c ①充分，②不充分

e+f=-b/3，ef=c/3，后式得x₁+x₂= b/3=e+f+ef=-b/3+c/3、 x₁*x ₂= c/3=(e+f)ef=-b/3*c/3，解得c=-3，b=-6

Δ =b²-4ac=4m²-4(m²+2m+3)≥0，得m≤-3/2， x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4m²-2（m²+2m+3）=2m²-4m-6，开口向上，对称轴为m=1，当m小于1时函数递减，因m≤-3/2所以x₁²+x₂²的最小值取m=-3/2，代入得9/2+6-6=9/2

(1)a>3 (2)a<0
f(1)=2a-2-3a+5=3-a，当2a>0即a>0开口向上，3-a<0即a>3；当2a<0时0开口向下，a> 3。得a> 3或a<0。①②均充分

(1)a<6 (2)a>5
两个不相等实根都在0的左侧，得： Δ=b²-4ac=(a-2)²-16(a-5)>0，化简得a²-20a+84>0，(a-10)²-16>0，(a-10-4)(a-10+4)>0，即a>14或a<6，对称轴=-(a-2)/8<0，化简得a>2，f(0)=a-5>0，化简得a>5，5> a> 6或a> 14，①②单独不充分，联合充分

①m>1/2 ②m≤4-2√3
有两个实根，都在区间（-1，1）内，得： Δ=b²-4ac=(m-2)²-4m≥0，化简得m²-8m+4≥0，(m-4)²-12≥ 0，(m-4-2√3)(m-4+2√3)≥ 0，即m≥4+2√3或m≤ 4-2√3。开口向上，对称轴=-(m-2)/2<0，化简得m>2。f(-1)=1-(m-2)+m>0，化简得3>0；f(1)=1+(m-2)+m>0，化简得m>1/2。1/2<m≤4-2√3，①②单独不充分，联合充分

①f(x)在区间[0，1]中有两个零点 ②f(x)在区间[1，2]中有两个零点
方法1: ①f(x)在[0，1] 内有2个根，得： Δ =b²-4ac=a²-4b≥0，b≤a²/4 对称轴=0≤-a/2≤1，得-2≤a≤0，0≤a+2≤2 f(0)=b≥0 f(1)=1+a+b≥0 1+a+b≤1+a+a²/4=(a²+4a+4)/4=(a+2)²/4≤4/4=1，故0≤f(1)≤1，①充分 ②f(x)在[1，2] 内有2个根，得： Δ=b²-4ac=a²-4b≥0，b≤a²/4 对称轴=1≤-a/2≤2，得-4≤a≤-1，-2≤a+2≤0，0≤（a+2）²≤4 f(1)=1+a+b≥0，1+a+b≤1+a+a²/4=（a²+4a+4）/4=（a+2）²/4，0≤（a+2）²/4≤1，②充分 f(2)=4+2a+b≥0，无用 方法2: ①设两个根为j、k，则f（x）=（x-j）（x-k），f（1）=（1-j）（1-k），由于j和k在[0，1] 内，则0≤1-j≤ 1、0≤1-k≤ 1，0≤（1-j）（1-k）≤ 1，①充分 ②设两个根为j、k，则f（x）=（x-j）（x-k），f（1）=（1-j）（1-k），由于j和k在[1，2] 内，则0≤j-1≤ 1、0≤k-1≤ 1，0≤（j-1）（k-1）≤ 1，由于（j-1）（k-1）=（1-j）（1-k，所以0≤（1-j）（1-k）≤ 1，②充分

f(1)=1+a²-1+a-2<0，化简得a²+a-2<0，(a+2)(a-1)<0，-2<a<1，f(-1)=1-a²+1+a-2<0，化简得-a²+a<0，a(a-1)>0，a>1或a<0-2<a<0

f(-1)=1-2m+2m+1>0，2>0; f(0)=2m+1<0，得m<-1/2; f(1)=1+2m+2m+1<0，得m<-1/2; f(2)=4+4m+2m+1>0，得m>-5/6。故-5/6<m<-1/2

(三)特殊方程

因式分解，找最简公分母约去分母，舍去分母为0的增根

同乘x+1，x²-4-2x-2+3=0，x²-2x-3=0，得x=3或x=-1，x+1不等于0，x=-1舍去，故x=3

同乘x(x²-1)，x+1+(k-5)(x-1)-x(k-1)=0，x+1+kx-k-5x+5-kx+x=0，解得x=(6-k)/3。原方程分母为0无解，则增根为1、0、-1，所以(6-k)/3=1、0、-1，解得k=3、6或9。

2.无理方程：根号含有未知数

(1)平方法：形如√f(x)=g（x），将等号两边平方，限定f(x)与g(x)的取值范围，联立x值求交集

(2)换元法：f(√x)=0，令√x=t（舍去t<0的值）

(2x+1)+(x-3)-2√(2x²-5x-3)=4，3x-6=2√(2x²-5x-3)，9x²-36x+36=8x²-20x-12，x²-16x+48=0，(x-4)(x-12)=0，得x=4或x=12。(2x+1)≥0即x≥-1/2，(x-3)≥0即x≥3，(3x-6)≥0即x≥2，交集为x≥3，因此x=4或x=12

令√(x²+3x+6)=t(根号内≥0)，原式为t²-6-5t+10=0，(t-4)(t-1)=0，得t=4或t=1;当t=1时，(x²+3x+6)=1，x²+3x+5=0，Δ=b²-4ac<0无解;当t=4时，(x²+3x+6)=16, x²+3x-10=0,(x+5)(x-2)=0，得x=-5或x=2

(1)p≥0 (2)p<1/4
x-p=x²（x≥0），x²-x+p=0，Δ =b²-4ac=1-4p>0，p<1/4 两个根为正实根，则对称轴1/2>0，f（0）=p>0，故0<p<1/4 ①②不充分

设√(x²+2x+2p)=t(t≥0)，方程简化为t²-2p-p²+2t=0，t²+2t-p(p+2)=0，(t+p+2)(t-p)=0，t=p或t=-p-2 由于方程没有实数根，因此取t<0，即p<0或-p-2<0，得-2<p<0

3.绝对值方程

(1)零点分段讨论法：绝对值内符号不能确定时分类讨论

①x>2 ②x<3 原方程可转化为y=|x-1|-|x-4|=2x-5; 当x<1时，方程为1-x-4+x=2x-5，x=1; 当1≤x≤4时，方程为x-1-4+x=2x-5，-3=-5; 当x>4时，x-1-x+4=2x-5，x=4; 当1≤x≤4时与转化结论一致，①②联合充分

①0<a≤1/2 ②1/2<a≤1
当x<2时，方程为2-x-3+x=a，a=-1; 当2≤x≤3时，方程为x-2-3+x=a，a=2x-5，即-1≤a≤1; 当x>3时，x-2-x+3=a，a=1; 故当-1≤a≤1能确定x的取值，a=±1时x有无穷多解、不能确定取值，①在区间内充分，②不充分。

当2x+1≥0即x≥-1/2时，|-x-1|=4，-x-1≤-1/2<0，1+x=4，x=3;当2x+1<0即x<-1/2时，|x+2x+1|=4，3x+1<-1/2<0，-3x-1=4，3x=-5，x=-5/3 故x=3或x=-5/3

(2)平方法：一边含绝对值一边不含

3x²-4x+1=0(x≥0），(3x-1)(x-1)=0，x=1/3或x=1;

(3)几何意义法：含有两个或以上绝对值相加且未知数系数相同，可借助几何意义

令x-1和x-2=0，得x=1和x=2，即两界点为1和2，方程表示x到界点的距离之和; 当x位于2的右侧，x-1+x-2=5，2x=8，x=4; 当x位于1的左侧，1-x+2-x=5，2x=-2，x=-1; 故x=4或x=-1

(四)不等式

a>b、c>d，a+c>b+d
a>b>0、c>d>0，ac>bd

2.一次不等式

移项
合并同类项
系数化为1

3.一元二次不等式

4.特殊不等式

5.均值不等式

(略)